Algebra & algebraische Geometrie
Abbildung: Jürgen Richter-Gebert
Algebra ist eine abstrakte mathematische Theorie, die von Algorithmen und Experimenten unterstützt wird. In der algebraischen Geometrie erforschen wir Systeme polynomieller Gleichungen. Dabei ist es möglich, diese von zwei Seiten zu betrachten:
- durch kommutative Algebra. Dabei definieren die Gleichungen ein Ideal in einem (Polynom-)Ring.
- durch Geometrie. Die Lösungen der Gleichungen bilden eine algebraische Varietät, beziehungsweise ein Schema.
Algebraische Geometrie, kommutative Algebra und algorithmische Algebra
Hilbert bewies 1893 den berühmten Nullstellensatz, der eine Brücke zwischen Algebra und Geometrie schlägt. Etwa 60 Jahre später hat Grothendieck durch Einführung der Theorie der Schemata diese abstrahiert und auf eine neue Ebene gehoben. Diese liefert nun einen einheitlichen Zugang zu Algebra, Geometrie, Zahlentheorie und Topologie. Auf diese Weise befindet sich algebraische Geometrie nun im Zentrum verschiedenster Teilgebiete der Mathematik.
Etwa zur selben Zeit wurden die Objekte der algebraischen Geometrie durch algorithmischen Berechnung viel zugänglicher. Heute sind algorithmische Methoden wichtig in Geometrie, Zahlentheorie sowie Gruppen- und Darstellungstheorie.
Forschungsbereiche
In unserer Arbeitsgruppe Algebra & algebraische Geometrie studieren und lehren wir unter anderem die folgenden Forschungsgebiete:
- Algebraische Flächen
- Charakteristik-p-Geometrie
- Commutative Algebra
- Darstellungstheorie
- Homological Algebra
- Invariantentheorie
