Geschichte des Department of Mathematics an der TUM

Oben finden Sie jeweils das frühere Logo der betreffenden M-Einheit. Es folgt eine grobe Spezifikation jener Schwerpunktsetzung einschließlich ausgewählter Forschungsschwerpunkte bezogen auf die M-Einheiten. Inzwischen wurde die Gliederung der Fakultät nach mathematischen Forschungsfeldern überarbeitet und die Einteilung der Professor:innen zusammen mit ihren Forschungsgruppen Mitte 2017 entsprechend neu konzipiert. Am Department of Mathematics der im Oktober 2022 gegründeten School of Computation, Information and Technology sind inzwischen außerdem engere Forschungsgebiete vertreten, die sich in den letzten Jahren entwickelt haben.

Optimierung (M1)

Die mathematische Optimierung beschäftigt sich damit, für unterschiedlichste Problemstellungen die bestmöglichen Lösungen zu finden. Oft geht es darum, in gegebenen Szenarien Energie beziehungsweise Kosten zu minimieren oder die Rendite zu maximieren bzw. vorhandene Ressourcen effizient zu nutzen. Das erfordert die quantitative Erfassung der zugrundeliegenden technischen und wirtschaftlichen Prozesse. Der methodische Kern entsprechender Modellierungen, Analysen und Algorithmen ist häufig mathematischer Art. Ein Forschungsschwerpunkt ist die Entwicklung effizienter Methoden zur Lösung großer nicht-linearer Optimierungsprobleme, die beispielsweise im Zusammenhang mit der Formoptimierung von Bauteilen bzw. Werkstücken oder der Kontrolle von Flüssigkeiten auftreten.

Numerische Mathematik (M2)

Eine zentrale Komponente des Profils der TUM-Mathematik ist die Numerische Mathematik. Sie beschäftigt sich mit der Entwicklung numerischer Rechenverfahren, ihrer Analyse und ihrer Umsetzung in Rechenprogramme für digitale Rechenautomaten (Computer) sowie deren Anwendung zur mathematischen Lösung von wissenschaftlich-technischen Problemen aus vielerlei Bereichen. Wichtige Schwerpunkte sind die Behandlung von Kontroll- und Steuerungsproblemen aus der Luft- und Raumfahrt, der Kraftfahrzeugtechnik und der Robotik. Mathematische Modelle sind hier vielfach durch Gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben, die zum Zwecke der Implementierung auf Computern in geeigneter Form diskretisiert werden.

Wissenschaftliches Rechnen (M3)

Eine moderne Form der Numerischen Mathematik ist das Wissenschaftliche Rechnen. Dabei werden für vielfältige Probleme effiziente und genaue Algorithmen entworfen, analysiert und auf modernen Hochleistungsrechnern implementiert. Oftmals besteht die Aufgabe darin, hochkomplexe Prozesse in Natur und Technik mithilfe von Computersimulationen nachzubilden, vorherzusagen und zu steuern sowie Prozessparameter zu schätzen. Wichtige praktische Probleme sind in der Regel jedoch so komplex, dass nur im Zusammenspiel mit verschiedenen Teilbereichen der Mathematik und anderen Wissenschaften sowie mit den Anwendungsbereichen relevante Fortschritte zu erzielen sind. Mathematische Modelle sind hier häufig durch Partielle Differentialgleichungen oder auch durch sogenannte Algebro-Differentialgleichungen gegeben. Letztere ermöglichen es, bei der System- und Prozessmodellierung a-priori unter den Zustandsgrößen gegebene Relationen zu berücksichtigen.

Mathematische Statistik (M4)

Praxisnah ist naturgemäß die Mathematische Statistik. Sie ist ein angewandter Ableger der Wahrscheinlichkeitstheorie (Mathematik der Unsicherheit) und spielt zusammen mit dieser in fast allen Lebensbereichen eine Rolle. Die Statistik umfasst quantitative Methoden, um Informationen aus Daten herauszufiltern (data mining). Dabei werden Daten als zufällig angesehen. Ein wichtiger Teilbereich ist das quantitative Risikomanagement, bei dem insbesondere mathematische Methoden zur Risikoanalyse und Risikomessung entwickelt werden. Ein bedeutender Spezialfall ist die Risikomodellierung für Zeitreihendaten und hochdimensionale Netzwerkdaten. Eine konkrete Anwendung ist die Risikoquantifizierung im Versicherungs- und Finanzbereich, im Luftverkehr oder auch für den Klima- und Umweltschutz.

Mathematische Physik (M5)

Die Mathematische Physik beschäftigt sich mit mathematischen Problemen, die ihre Motivation oder ihre Anwendung in der (theoretischen) Physik haben. Von besonderer Bedeutung sind dabei einerseits die mathematisch rigorose Formulierung physikalischer Theorien sowie die Analyse zugrundeliegender mathematischer Strukturen, und andererseits die Anwendung mathematischer Lösungsmethoden und Strategien auf physikalische Fragestellungen. Das umfasst die Statistische Physik, durch welche Systeme vieler (stochastisch) wechselwirkender Teilchen, stochastische Wachstumsprozesse und Grenzflächendynamiken beschrieben werden. Einige relevante Teilgebiete der Mathematik sind die angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie sowie die Theorie stochastischer Prozesse und Zufallsmatrizen. Die Quantenphysik beschreibt Quantensysteme, das heißt wechselwirkende Teilchensysteme auf atomaren Skalen. Deren mathematische Formulierung nutzt unter anderem Spektraltheorie unbeschränkter Operatoren auf Hilberträumen, insbesondere Spektraltheorie für Schrödingeroperatoren.

Mathematische Modellierung (M6)

Ein Fokus der Mathematischen Modellbildung ist die Analyse und Steuerung komplexer Prozesse und intelligenter Systeme in Natur und Technik auf der Grundlage von Konzepten aus den relevanten Naturwissenschaften und mittels mathematischer Methoden. Beispiele sind materialorientierte Prozesse wie die (thermo-) elastische oder plastische Verformung von Materialien, Phasenübergänge, Wärme- und Wellenausbreitung in diversen Medien oder die Ausbreitung und Interaktion von Populationen gewisser Spezies in der lebendigen Natur. Die Modellgleichungen sind häufig Differentialgleichungen. Fragestellungen sind neben deren Herleitung die Existenz und Eigenschaften von deren Lösungen. Sowohl die angewandte Analysis, insbesondere Variationsrechnung, als auch die Numerische Mathematik sind hier relevante Teilgebiete der Mathematik. Eine besondere Herausforderung stellen Systeme und Prozesse dar, die eine Art von Gedächtnis haben, d.h., ihr aktuelles Verhalten wird durch ihr früheres Verhalten beeinflusst. Für die mathematische Modellierung spielen dann Hystereseoperatoren eine wichtige Rolle.

Analysis (M7) 

Im Gegensatz zu numerischen Methoden, welche mathematische Ergebnisse in Form von Zahlen liefern, kann man mit Konzepten und Methoden der Analysis zum Beispiel auch Formeln herleiten oder die Existenz und spezielle Eigenschaften von Lösungsfunktionen einer Modellgleichung nachweisen, ohne letztere explizit lösen zu müssen. Anwendungsrelevante Teilbereiche der Analysis sind unter anderem Funktionentheorie, Differential- und Integralrechnung, Maßtheorie, Variationsrechnung, Fourieranalysis, Funktionalanalysis, Approximationstheorie und Operatortheorie. Die Analysis bildet eine Grundlage vieler mathematischer Disziplinen und steht in stetiger Wechselwirkung mit konkreten Fragen aus verschiedenen Anwendungsbereichen. Forschungsschwerpunkte umfassen die Analyse der Elektronenstruktur von Atomen und Molekülen, Variationsrechnung, Moleküldynamik, Mehrskalenmethoden sowie nicht-lineare Wellen.

Dynamische Systeme (M8)

Ab Mitte des 20. Jahrhunderts gelangte die Thematik dynamischer Systeme in der Mathematik zu neuer Blüte. Ein Thema, das in den 1970er und 1980er Jahren viel öffentliche Aufmerksamkeit erfuhr, ist die nicht-lineare Dynamik, salopp gerne auch als Chaostheorie bezeichnet. Dabei steht die mathematische Analyse und Vorhersage des zeitlichen Verhaltens komplexer Systeme und Prozesse im Fokus (Mathematik der Zeit). Typische Beispiele sind Bewegungen verschiedener Art, die Verformung spezieller Materialien oder die Strömung gewisser Flüssigkeiten. Konzepte und Methoden der mathematischen Theorie dynamischer Systeme ermöglichen es insbesondere, Phänomene qualitativer Natur wie Fragen zur Stabilität von Verhaltensmustern über längere oder sogar über beliebig lange Zeitintervalle hinweg oder potenzielle Veränderungen (Bifurkationen) der Verhaltensmuster im Fall ihrer Instabilität zu untersuchen.

Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik (M9)

In der Praxis spielen diskrete Strukturen oftmals eine herausragende Rolle. Die Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik sind aufgrund ihrer engen Anbindung an algorithmische Fragestellungen wie Routenplanung und Scheduling, Chip Layout, diskrete Tomographie oder Datenanalyse ein unverzichtbarer Bestandteil des aktuellen Profils der TUM-Mathematik. Die Forschung umfasst grundlegende Aspekte der Diskreten Mathematik und Anwendungen zur Analyse und algorithmischen Behandlung praktischer Probleme aus den Natur-, Ingenieur-, Wirtschafts- und Finanzwissenschaften, wobei insbesondere Optimierungsfragen von Interesse sind. Es besteht eine enge Verbindung zu den mathematischen Disziplinen Kombinatorik und Graphentheorie. Konkrete Anwendungen sind etwa die optimale Planung der Flurbereinigung oder von Straßenbahnfahrplänen.

Geometrie und Visualisierung (M10) 

In der Geometrie stehen grundlegende Aspekte geometrischer Muster und Strukturen ebenso im Vordergrund wie konkrete Anwendungen, die ein tiefes geometrisches Verständnis erfordern, um Strukturen zu analysieren oder zu visualisieren. Mithilfe der Computergrafik lassen sich anschauliche Objekte und Prozesse wie Figuren und Körper bzw. deren Bewegungen formvollendet darstellen sowie viele abstrakte Strukturen und Sachverhalte geometrisch visualisieren. Dies ist insbesondere ein Mittel, um neue mathematische Einsichten zu gewinnen (Experimentelle Mathematik) oder mathematische Lösungen und Resultate eindrucksvoll zu präsentieren (Computersimulation). Hier arbeiten die Mathematik, die Informatik und die Elektrotechnik oft Hand in Hand.

Algorithmische Algebra (M11)

Ebenso wie die Analysis und die Geometrie ist die Algebra eines der grundlegenden Teilgebiete der Mathematik. Sie befasst sich mit Eigenschaften von Rechenoperationen auf der Basis spezieller algebraischer Strukturen wie Gruppen, Ringe oder Körper. Dies sind Mengen gewisser Objekte (Elemente), meist abstrakter Natur, für welche Verknüpfungen oder Relationen festgelegt sind, die einer Reihe von Grundannahmen (Axiomen) genügen. Neuerdings gibt es sogar die Möglichkeit, das Rechnen mit derartigen Objekten (Manipulation von Symbolketten nach vorgegebenen Regeln) auf Computern auszuführen (Computeralgebra), womit sich etwa gewisse Gleichungen exakt lösen oder sogar Beweise maschinell führen lassen. Der Algorithmischen Algebra ist die Suche nach entsprechenden Algorithmen und die Ermittlung von deren Komplexität (Effizienz) zuzuordnen. Die Algebraische Geometrie beschäftigt sich mit Beziehungen zwischen algebraischen und geometrischen Strukturen, um das Verständnis beider Seiten zu vertiefen.

Biomathematik (M12)

Die Biomathematik hat zum Ziel, mathematische Modelle und Theorien zu erarbeiten, um die Struktur und Dynamik von Systemen und Prozessen aus der lebendigen Natur zu beschreiben bzw. vorherzusagen. Dabei geht es insbesondere darum, durch Abstraktion Prinzipien und Mechanismen zu entdecken, welche der Entwicklung und Interaktion lebender Organismen zugrunde liegen. Aufgrund der erheblichen Komplexität lebender Systeme gewinnt dieser Ansatz in der Biologie und anderen Bereichen der Lebenswissenschaften bis hin zur Medizin mehr und mehr an Bedeutung. Hierbei wirken viele mathematische Disziplinen zusammen. Heutige Erkenntnisse in Ökologie, Epidemiologie, Neurologie oder Evolutionstheorie sind undenkbar ohne Mathematik. Auch die moderne, individualisierte Medizin und das Gesundheitswesen arbeiten wesentlich mit mathematisch-statistischen Modellen und Methoden. Seit 1997 besteht eine Personalunion mit dem Helmholtz-Zentrum München bzw. mit dem dortigen Institut für Biomathematik und Biometrie.

Finanzmathematik (M13)

Finanzmathematik bietet einen Zugang zum komplexen Finanzgeschehen. Modelliert werden etwa Aktienkurse, Zinsinstrumente, Rohstoffpreise, Kredite und Versicherungsprodukte. Das hilft, Optionen zu bewerten, finanzielle Risiken zu quantifizieren und optimale Anlagestrategien zu berechnen. Methodisch nutzt die Finanzmathematik ein sehr breites Repertoire an Techniken aus der Stochastik, Statistik, Numerik, Optimierung, Funktionentheorie und Funktionalanalysis.

Wahrscheinlichkeitstheorie (M14)

Die Wahrscheinlichkeitstheorie (Mathematik der Unsicherheit) untersucht, wie wahrscheinlich es ist, dass ein zufälliges Ereignis wirklich eintritt. Sie findet Anwendung in vielen Bereichen wie den Wirtschaftswissenschaften oder der Informatik. Zudem hat sie zahlreiche Verbindungen zu anderen Gebieten der Mathematik wie der Analysis, Graphentheorie und mathematischen Physik. Nicht zuletzt bildet sie zusammen mit ihrem Ableger, der Mathematischen Statistik, die Stochastik. Die Stochastik hat einen maßgeblichen Einfluss auf unser Alltagsleben. Sie untersucht stochastische Prozesse und ihr Langzeitverhalten. Forschungsschwerpunkte umfassen sogenannte Irrfahrten in zufälligen Netzwerken und zufälligen Umgebungen als Modell für Transport in inhomogenen Medien. Andere Modelle tragen dazu bei, die Dynamik komplexer biologischer Systemen besser zu verstehen oder randomisierte Verfahren in der Signalverarbeitung und Datenanalyse zu untersuchen.

Angewandte und Numerische Analysis sowie Datenanalyse (M15)

Ob in der Logistik, der Medizin oder im Mobilfunk – viele Anwendungen führen zu immer größer werdenden Datensätzen. Um diese Datenmengen zu analysieren und effizient zu nutzen, benötigt man mehr und mehr geeignete mathematische Werkzeuge. Damit lassen sich in vielen Anwendungsbereichen Prognosen erstellen, Ressourcen schonen und Kosten senken. Eine besondere Herausforderung stellen dabei sehr große Datenmengen dar, nicht zuletzt aus Gründen der Datenspeicherung. Hier sind insbesondere mathematische Konzepte zur Datenkompression von großer Bedeutung.

Numerische Methoden in der Plasmaphysik (M16)

Eine der größten Herausforderungen der Menschheit ist die Suche nach umwelt- und klimaschonenden sowie wirtschaftlich tragbaren Lösungen für das Energieproblem. Dabei ist die Kernfusion ein vielversprechendes physikalisches Prinzip, wobei es erhebliche Schwierigkeiten macht, dieses Prinzip technisch erfolgreich umzusetzen. Unter anderem beschäftigt sich die Plasmaphysik mit grundlegenden Problemen, welche in der Fusionsforschung auftreten. Von besonderer Bedeutung sind dabei 

• einerseits die mathematisch rigorose Formulierung physikalischer Theorien und die Analyse zugrundeliegender mathematischer Strukturen und
• andererseits die Anwendung mathematischer Lösungsmethoden und Strategien auf physikalische Fragestellungen.

Aufgrund der enormen Komplexität der mathematischen Modellgleichungen (Kinetische Modelle, für den Fall magnetischer Fusion auch Modelle der Magnetohydrodynamik) spielen hier numerische Lösungsverfahren eine vordergründige Rolle. Dabei kommt es darauf an, dass die verwendeten Algorithmen wesentliche strukturelle Merkmale des Lösungsverhaltens der ursprünglichen Modellgleichungen einschließlich von Symmetrien und zeitlichen Erhaltungsgrößen zumindest in ausreichender Näherung reproduzieren. Dies stellt eine gewaltige Herausforderung für die Wahl bzw. Entwicklung geeigneter Lösungsverfahren dar. Hier finden insbesondere Konzepte der Differentialgeometrie und der Theorie von Lie-Gruppen Verwendung. Seit 2012 besteht eine Personalunion mit dem Max-Planck-Institut für Plasmaphysik in Garching.

Optimalsteuerung (M17)

Ein Forschungsschwerpunkt ist die Entwicklung von effizienten numerischen Algorithmen zur optimalen Steuerung (Optimalsteuerung) komplexer Prozesse in Natur und Technik. Die Theorie der optimalen Steuerungen ist eng verwandt mit der Variationsrechnung und der Optimierung. Eine optimale Steuerung wird durch eine Funktion beschrieben, welche eine gegebene Zielfunktion unter einer Differentialgleichungs-Nebenbedingung und eventuell noch weiteren Restriktionen minimiert oder maximiert. 

Möchte man zum Beispiel einen Raum energieeffizient beheizen, könnte man das Ziel vorgeben, möglichst wenig Brennstoff zu verbrauchen. Wie verändert man von Zeit zu Zeit die Einstellung der Raumheizung im Laufe eines vorgegebenen Zeitfensters, um jenes Ziel zu erreichen? Im mathematischen Modell lässt sich die Funktion, welche den zeitlichen Verlauf der Einstellung beschreibt, verhältnismäßig leicht variieren und so eine Bestimmungsgleichung für optimale Steuerungen herleiten. Dabei müssen gewisse Nebenbedingungen eingehalten werden, zum Beispiel, dass die Temperatur nirgends im Raum gewisse Grenzen über- bzw. unterschreiten sollte. Den zeitlichen und räumlichen Verlauf der Temperatur könnte man mathematisch mittels der Wärmeleitungsgleichung modellieren, ausgehend von einer gegebenen räumlichen Temperaturverteilung zum Anfangszeitpunkt und geeigneten Randbedingungen. Letztere hängen insbesondere von der Wärme-Durchlässigkeit der Wände, Türen und Fenster ab, wobei natürlich auch zeitweise Lüftungsperioden zu berücksichtigen sind.