Vorlesung Algebra

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Inhalt

Die klassische Algebra beschäftigte sich mit dem Auflösen algebraischer Gleichungen in einer Variablen, insbesondere mit Auflösungsformeln für quadratische, kubische,... Gleichungen. Daraus entwickelte sich im Laufe der Jahrhunderte dann die Lehre abstrakter Strukturen, inbesondere von Gruppen, Ringen und Körpern - diese Strukturen sind fundamental für die gesamte Mathematik. Ein Höhepunkt der Algebra ist die Galois-Theorie, die die Frage nach Auflösungsformeln für Gleichungen in ein Problem der Gruppentheorie übersetzt und schliesslich zeigt, dass es i.a. für Gleichungen 5. Grades (oder höher) keine Auflösungsformeln mehr geben kann.

Gruppentheorie: Definition von Gruppen, Beispiele: zyklische und symmetrische Gruppen, Klassifikation Gruppen kleiner Ordnung, Normalteiler und Quotienten, der Homomorphie-Satz, der Satz von Lagrange, Sylow-Sätze, die Klassifikation von endlich erzeugten abelschen Gruppen...

Ringtheorie: Definition von Ringen (zumeist kommutativ mit Eins), Ideale und Quotienten, der Homomorphie-Satz, Polynomringe, Teilbarkeit und Primzerlegung, Resultante und Diskriminante, Quotientenkörper, der chinesische Restesatz,...

Körpertheorie: Definition von Körpern, Körpererweiterungen (algebraisch, separabel, normal), Zerfällungskörper, Galoistheorie, Kreisteilungskörper, auflösbare Körpererweiterungen, der Fundamentalsatz der Algebra,...

Im Sommersemester 2017 wird es dann, aufbauend auf dieser Vorlesung, mindestens eine Vertiefungsvorlesung geben. Diese Veranstaltungen (oder äquivalente von anderen Universitäten) sind die Voraussetzung für Bachelor- oder Masterarbeiten in der Arbeitsgruppe M11.

Literatur

• M. Artin: Algebra
• S. Bosch: Algebra
• G. Fischer: Lehrbuch der Algebra
• C. Karpfinger, K. Meyberg: Algebra 
• S. Lang: Algebra

Voraussetzungen

Grundvorlesungen in Analysis und Lineare Algebra.

Details

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